Значение и происхождение фамилии Графов

ГРАФ: число истинных особенностей «8»

Число восемь не зря было на особом счету у многих народов. От него исходят сильные вибрации, дарящие его носителям могущество, незаурядные способности и бесстрашие. Если такие люди и способны испытывать страхи, то никогда в этом не признаются.

«Восьмерочники» запрограммированы на достижение успеха. Слово «скука» отсутствует в их лексиконе. Как правило, у них нет времени, чтобы ее почувствовать. Напротив, им зачастую не хватает времени на то, чтобы выполнить все задуманное. Они любят учиться, и с огромным рвением поглощают новые знания.

Стремясь преуспеть в жизни, они не боятся идти самыми сложными путями, свысока поглядывая на все встречающиеся на пути опасности и с энтузиазмом обходя подводные камни. Ошибки, как свои собственные, так и чужие, считают не провалом, а опытом. Совершив их, они не остановятся, а, проанализировав, ринутся в дело с удвоенной энергией.

Со стороны может показаться, что поражения им неведомы, но это совершенно не так. Трудностей у них, как и у всех деятельных натур, бывает предостаточно. Однако «восьмерочники» обожают их преодолевать. Проблемы лишь заставляют их мобилизовать все свои силы. При встрече с ними, у таких людей пробуждаются охотничьи инстинкты, появляется азарт.

Так же действует на них наличие достойного соперника. Такие люди нужны им не меньше, чем верные друзья. Конкуренция подгоняет их делать еще больше, выкладываться по полной программе и открывать в себе новые способности, порой даже сверхъестественные.

«Восьмерочники» созданы для больших дел. Они способны мыслить масштабно, а вот мелочи и детали редко их интересуют. Поэтому лучше всего они чувствуют себя на руководящих ролях. Их дело – возглавлять опасную экспедицию или руководить рискованным проектом.

Зачастую их жажда успеха и постоянный поиск новых приключений приводит к печальным последствиям. Эти качества с удовольствием используют мошенники, заманивая обещаниями славы и денег в липовые проекты. Впрочем, рано или поздно «восьмерочники» сумеют выпутаться из любой, даже самой запутанной истории.

Впрочем, спокойная жизнь отнюдь не претит им. Они всегда найдут, чем занять все свободное время. Хотя максимальных успехов добьются на самой трудной дороге.

Люди, которым покровительствует цифра восемь, свойственна гордыня. Они часто противопоставляют себя толпе. Быть частью ее для них настоящая мука. Они стремятся быть непохожими на других, всегда имеют свое мнение и готовы до конца отстаивать его. Увы, но иногда это оборачивается против их близких. Обладая по-настоящему блестящими способностями, они тем не менее не могут рассмотреть, что некоторые их слова и поступки причиняют боль тем, кто находится рядом.

Происхождение фамилии Графов

Обладатель фамилии Графов, несомненно, может гордиться своими предками, сведения о которых содержатся в различных документах, подтверждающих след, оставленный ими в истории России.

У славян издревле существовала традиция давать человеку прозвище в дополнение к имени, полученному им при крещении. Дело в том, что церковных имен было сравнительно немного, и они часто повторялись. Поистине неисчерпаемый запас прозвищ позволял легко выделить в обществе человека. В качестве источников могли использоваться: указание на профессию, особенности характера или внешности человека, название национальности или местности, выходцем из которой был человек. В большинстве случаев прозвища, изначально присоединявшиеся к крестильным именам, полностью вытесняли имена не только в повседневной жизни, но и в официальных документах.

Фамилия Графов могла быть образована от прозвища Графов. Скорее всего, такое прозвище при записи было получено крепостным крестьянином, который принадлежал некоему графу. Как известно, «граф» — это «наследственное дворянское достоинство; оно выше баронского и ниже княжеского». В словаре В.И. Даля читаем: «графов – ему принадлежащий».

Наивно думать, что предок нынешних Графовых (как и Генераловых, Князевых) был графом, поскольку эти люди имели свои фамилии.

Однако нельзя исключить, что фамилия Графов могла быть образована от мирского имени Граф. Такое имя также было очень популярным в XVI-XVII у крестьян. Возможно, в имя, как в талисман, было заложено родителями пожелание богатства и власти, однако не исключено, что оно имело и оттенок иронии.

Уже в XV–XVI веках начинают закрепляться и передаваться из поколения в поколение фамилии, обозначающие принадлежность человека к конкретной семье. Это были притяжательные прилагательные с суффиксами –ов /-ев, -ин, изначально указывающие на прозвище отца.

Основная же масса населения на протяжении долгого времени оставалась без фамилий. Начало их закреплению положило духовенство, в частности киевский митрополит Петро Могила, который в 1632 году поручил священникам вести метрики рожденных, венчанных, умерших.

После отмены крепостного права перед правительством встала серьезная задача: дать фамилии бывшим крепостным. В 1888 году Сенат опубликовал специальный указ, в котором было записано: «Именоваться определенной фамилией составляет не только право, но и обязанность всякого полноправного лица, и обозначение фамилии на некоторых документах требуется самим законом».

Таким образом, потомки человека, обладавшего прозвищем или именем Граф/Графов, со временем получили фамилию Графовы.

Говорить о точном месте и времени возникновения фамилии Графов в данный момент не представляется возможным, поскольку процесс формирования фамилий был достаточно длительным. Тем не менее, фамилия Графов представляет собой замечательный памятник славянской письменности и культуры.

Анализ происхождения фамилии Графов подготовлен специалистами Центра исследований «Анализ Фамилии»

Некоторые задачи теории графов

  • Проблема семи мостов Кёнигсберга — один из первых результатов в теории графов, опубликован Эйлером в .
  • Проблема четырёх красок — была сформулирована в 1852 году, но неклассическое доказательство получено лишь в 1976 году (достаточно 4-х красок для карты на сфере (плоскости)).
  • Задача коммивояжёра — одна из наиболее известных NP-полных задач.
  • Задача о клике — ещё одна NP-полная задача.
  • Нахождение минимального стягивающего (остовного) дерева.
  • Изоморфизм графов — можно ли путём перенумерации вершин одного графа получить другой.
  • Планарность графа — можно ли изобразить граф на плоскости без пересечений рёбер (или с минимальным числом слоёв, что находит применение при трассировке межсоединений элементов печатных плат или микросхем).

К теории графов также относится целый ряд .

Литература

  • Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1968. — 336 с.
  • Математический энциклопедический словарь, Прохоров Ю.В., 1988
  • Уилсон Р. Введение в теорию графов. — М.: Мир, 1977. — 208 с.
  • Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973.
  • Кормен Т. М. и др. Часть VI. Алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1.
  • Салий В. Н., Богомолов А. М. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М.: Физико-математическая литература, 1997. — ISBN 5-02-015033-9.
  • Касьянов В. Н., Евстигнеев В.А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — С. 1104. — ISBN 5-94157-184-4.
  • Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с. (Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009. 392 с.)
  • Кирсанов М. Н. Графы в Maple. — М.: Физматлит, 2007. — 168 с. — ISBN 978-5-9221-0745-7.
  • Графы // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 86—88. — 352 с.

П

  • Паросочетание — набор попарно несмежных рёбер.
  • Петля — ребро, начало и конец которого находятся в одной и той же вершине.
  • Пересечение графов (помеченных графов G1=(X1,U1){\displaystyle G_{1}=(X_{1},U_{1})} и G2=(X2,U2){\displaystyle G_{2}=(X_{2},U_{2})}) — граф G1∩G2{\displaystyle G_{1}\cap G_{2}}, множеством вершин которого является X1∩X2{\displaystyle X_{1}\cap X_{2}}, а множеством рёбер — U=U1∩U2{\displaystyle U=U_{1}\cap U_{2}}.
  • Перечисление графов — подсчёт числа неизоморфных графов в заданном классе (с заданными характеристиками).
  • Периферийная вершина — вершина, эксцентриситет которой равен диаметру графа.
  • Планарный граф — граф, который может быть изображён () на плоскости без пересечения рёбер. плоскому графу, то есть является графом с пересечениями, но допускающий его плоскую укладку, поэтому может отличаться от изображением на плоскости. Таким образом, может быть разница между плоским графом и планарным графом при изображении на плоскости.
  • Плоский граф — , в котором никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины (не пересекаются). Является графом на плоскости.
  • Подграф исходного графа — граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество им рёбер. (ср. .) По отношению к подграфу исходный граф называется
  • Полный граф — граф, в котором для каждой пары вершин v1,v2{\displaystyle v_{1},v_{2}}, существует ребро, инцидентное v1{\displaystyle v_{1}} и инцидентное v2{\displaystyle v_{2}} (каждая вершина соединена ребром с любой другой вершиной).
  • Полный инвариант графа — числовая характеристика графа или их упорядоченный вектор, значения которой необходимо и достаточно для установления графов.
  • Полным двудольным называется , в котором каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества
  • Полустепень захода в для вершины v{\displaystyle v} — число дуг, входящих в вершину. Обозначается d+(v){\displaystyle d^{+}(v)}, deg+(v){\displaystyle \mathrm {deg} ^{+}(v)}, indeg(v){\displaystyle \mathrm {indeg} (v)} или dt(v){\displaystyle d_{t}(v)}.
  • Полустепень исхода в для вершины v{\displaystyle v} — число дуг, исходящих из вершины. Обозначается d−(v){\displaystyle d^{-}(v)}, deg−(v){\displaystyle \mathrm {deg} ^{-}(v)}, outdeg(v){\displaystyle \mathrm {outdeg} (v)} или do(v){\displaystyle d_{o}(v)}.
  • Помеченный граф — граф, вершинам или дугам которого присвоены какие-либо метки, например, натуральные числа или символы какого-нибудь алфавита.
  • Порождённый подграф — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же рёбрами, как в графе.
  • Порядок графа — количество вершин графа.
  • Правильная раскраска графа — раскраска, при которой каждый цветной класс является независимым множеством. Иначе говоря, в правильной раскраске любые две смежные вершины должны иметь разные цвета.
  • Произведение графов — для данных графов G1=(V1,E1){\displaystyle G_{1}=(V_{1},E_{1})} и G2=(V2,E2){\displaystyle G_{2}=(V_{2},E_{2})} произведением называется граф G=(V,E){\displaystyle G=(V,E)}, вершины которого V(G)=V1×V2{\displaystyle V(G)=V_{1}\times V_{2}} — декартово произведение множеств вершин исходных графов.
  • Простая цепь — , в котором все вершины различны.
  • Простой граф — , в котором нет и .
  • Простой путь — , все вершины которого попарно различны

    Простой цикл — цикл, не проходящий дважды через одну вершину.

    . Другими словами, простой путь не проходит дважды через одну вершину.

  • Псевдограф — граф, который может содержать и/или кратные рёбра.
  • Пустой граф (вполне несвязный граф, нуль-граф) — степени 0, то есть граф, не содержащий .
  • Путь — последовательность (в неориентированном графе) и/или дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги (ребра) является началом другой дуги (ребра). Или последовательность вершин и дуг (рёбер), в которой каждый элемент инцидентен предыдущему и последующему. Может рассматриваться как частный случай .
  • Путь в орграфе — последовательность вершин v1, v2, …, vn, для которой существуют дуги v1 → v2, v2 → v3, …, vn-1 → vn. Говорят, что этот путь начинается в вершине v1, проходит через вершины v2, v3, …, vn-1, и заканчивается в вершине vn.

Графы в Германии

На немецком На русскомКомментарий/Этимология
Markgraf Маркграф и произошедшее от него маркизот марка (нем. mark — пограничная провинция) + граф. Дословно — граф марки.
Pfalzgraf Пфальцграф (присутствует также в устар. английском palsgrave)от рfalz (дворец) + граф. В Раннем Средневековье граф, управляющий пфальцем (дворцом) в период отсутствия в нём правящего монарха.
ReichsgrafРейхсграфот нем. Reich — (Священная Римская) Империя + граф. Дословно — граф Империи
LandgrafЛандграфот land (земля) + граф. Титул графа, который пользовался в своих владениях высшей юрисдикцией и не был подчинен герцогу или князю. Гефюрстетер ландграф — военный наместник князя.
FreigrafФрейграфот frei (свободный) + граф. Дословно — вольный граф
Gefürsteter GrafГефюрстетер графот нем. фюрст + граф. Изначально служащий князя, наместник. Буквально — княжий граф, то есть граф, вассальный непосредственно самому князю-фюрсту, в отличие от рейхсграфа (см. выше). В средневековой титулатуре граф стоял ниже герцога и князя.
BurggrafБургграфот нем. burg (замок, крепость, местечко) + граф
RheingrafРейнграфот Rhein (река Рейн) + граф. Имя графов Рейнской области. Один из феодальных титулов древнейших западно-немецких династий. Только к концу Средних веков этот титул стал понемногу исчезать
AltgrafАльтграфот alt (старый) + граф. Один из феодальных титулов древнейших западно-немецких династий. Только к концу Средних веков этот титул стал понемногу исчезать.
WildgrafВильдграфот wild (с нем. — «дичь» в значении «дикая, неосвоенная местность») + граф. Один из феодальных титулов древнейших западно-немецких династий. Только к концу Средних веков этот титул стал понемногу исчезать, благодаря постоянной борьбе с лотарингскими герцогами и архиепископами Трирским и Кельнским.
Raugraf Рауграфот rau (необжитое место, нетронутое) + граф
VizegrafВиконтот vize (заместитель) + граф

Что такое теория графов и что такое граф?

Теория графов – один из обширнейших разделов дискретной математики, широко применяется
в решении экономических и управленческих задач, в программировании, химии, конструировании и изучении электрических
цепей, коммуникации, психологии, психологии, социологии, лингвистике, других областях знаний. Теория графов систематически
и последовательно изучает свойства графов, о которых можно сказать, что они состоят из множеств точек и
множеств линий, отображающих связи между этими точками. Основателем теории графов считается Леонард
Эйлер (1707-1882), решивший в 1736 году известную в то время задачу о кёнигсбергских мостах.

Графы строят для того, чтобы отобразить отношения на множествах.
Пусть, например, множество –
множество людей, а каждый элемент будет отображён в виде точки

Множество –
множество связок (прямых, дуг, отрезков – пока не важно). На множестве A задано отношение
знакомства между людьми из этого множества

Строим граф из точек и связок. Связки будут связывать пары людей, знакомых между собой.
Естественно, число знакомых у одних людей может отличаться от числа знакомых у других людей, а некоторые
вполне могут и не быть ни с кем знакомы (такие элементы будут точками, не соединёнными ни с одной другой). Вот и получился граф!

То, что мы сначала назвали “точками”, следует называть вершинами графа, а то, что
называли “связками” – рёбрами графа.

Теория графов не учитывает конкретную природу множеств A и B. Существует
большое количество самых разных конкретных задач, при решении которых можно временно забыть о специфическом
содержании множеств и их элементов

Эта специфика никак не сказывается на ходе решения задачи, независимо
от её трудности! Например, при решении вопроса о том, можно ли из точки a добраться до
точки e, двигаясь только по соединяющим точки линиям, неважно, имеем ли мы дело с людьми,
городами, числами и т.д. Но, когда задача решена, мы получаем решение, верное для любого содержания,
которое было смоделировано в виде графа

Не удивительно поэтому, что теория графов – один из самых
востребованных инструментов при создании искусственного интеллекта: ведь искусственный интеллект может
обсудить с собеседником и вопросы любви, и вопросы музыки или спорта, и вопросы решения различных задач,
причем делает это без всякого перехода (переключения), без которого в подобных случаях не обойтись человеку.

А теперь строгие математические определения графа.

Определение 1. Графом называется система объектов произвольной
природы (вершин) и связок (рёбер), соединяющих некоторые пары этих объектов.

Определение 2. Пусть – (непустое) множество вершин, элементы – вершины.
Граф с множеством вершин есть некоторое
cемейство пар вида: , где , указывающих,
какие вершины остаются соединёнными. Каждая пара – ребро графа.
Множество – множество рёбер графа. Вершины и – концевые точки ребра .

Графы как структура данных. Широким применением теории графов в
компьютерных науках и информационных технологиях обусловлено добавлением к вышеизложенным определениям
понятия графа как структуры данных. В компьютерных науках и информационных технологиях граф определяется
как нелинейная структура данных. Что же тогда – линейная структура данных и чем от них отличаются графы?
Линейные структуры данных характеризуются тем, что связывают элементы отношениями типа “простого соседства”.
Линейными структурами данных являются, например, массивы, таблицы, списки, очереди, стеки, строки. В
противоположность им нелинейные структуры данных – такие, в которых элементы располагаются на различных
уровнях иерархии и подразделяются на три вида: исходные, порождённые и подобные. Итак, граф – нелинейная
структура данных.

Слово граф греческого происхождения, от слов “пишу”, “описываю”. Из начала этой статьи
известно, что именно описывает граф: описывает он отношения. То есть, любой граф описывает отношения. И
наоборот: любое отношение можно описать в виде графа.

Р

  • Радиус графа — минимальный из эксцентриситетов вершин связного графа; вершина, на которой достигается этот минимум, называется центральной вершиной.
  • Разбиение графа — представление исходного графа в виде множества подмножеств вершин по определённым правилам.
  • Разделяющая вершина — то же, что и и .
  • Развёртка графа — функция, заданная на вершинах ориентированного графа.
  • Размеченный граф — граф, для которого задано множество меток S, функция разметки вершин f : A → S и функция разметки дуг g : R → S. Графически эти функции представляются надписыванием меток на вершинах и дугах. Множество меток может разделяться на два непересекающихся подмножества меток вершин и меток дуг. См. Размеченный граф.
  • Разрез — множество , удаление которого делает граф .
  • Рамочный граф — граф, который можно нарисовать на плоскости таким способом, что любая ограниченная грань является четырёхугольником и любая вершина с тремя и менее соседями инцидентна неограниченной грани.
  • Раскраска графа — разбиение вершин на множества (называемые цветами). Если при этом нет двух смежных вершин, принадлежащих одному и тому же множеству (то есть две смежные вершины всегда разного цвета), то такая раскраска называется правильной.
  • Расстояние между вершинами — длина кратчайшей цепи (в орграфе пути), соединяющей заданные вершины. Если такой цепи (пути) не существует, расстояние полагается равным бесконечности.
  • Рёберное покрытие — множество рёбер графа такое, что каждая вершина инцидентна хотя бы одному ребру из этого множества.
  • Рёберный граф неориентированного графа — это граф, представляющий соседство рёбер графа.
  • Ребро — базовое понятие. Ребро соединяет две графа.
  • Регулярный граф — граф, всех вершин которого равны. Степень регулярности является инвариантом графа и обозначается r(G){\displaystyle r(G)}. Для нерегулярных графов r(G){\displaystyle r(G)}

    Регулярный граф степени 0 (вполне несвязный граф, пустой граф, нуль-граф) — граф без рёбер.

    не определено. Регулярные графы представляют особую сложность для многих алгоритмов.

Т

  • Тета-граф — граф, состоящий из объединения трёх путей, не имеющих внутри общих вершин, у которых конечные вершины одни и те же
  • Тета-граф множества точек евклидовой плоскости строится как система конусов, окружающих каждую вершину с добавлением ребра для каждого конуса к точке множества, проекция которой на центральную ось конуса минимальна.
  • Тождественный граф — граф, у которого возможен один-единственный  — тождественный. Образно говоря, тождественный граф — «абсолютно несимметричный» граф.
  • Точка сочленения — то же, что и и .
  • Триангуляция поверхности — графа на поверхность, разбивающая её на треугольные области; частный случай топологической триангуляции.
  • Тривиальный граф — граф, состоящий из одной .
  • Турнир — , в котором каждая пара вершин соединена одним ребром.

Графы в России

См. также: Список графских родов Российской империи

Первые пожалования графами в России исходили от императора Священной Римской империи (1701 − Ф. А. Головин, 1702 − А. Д. Меншиков, 1707 − Г. И. Головкин, 1715 − А. А. Матвеев).

Первый граф России Ф. А. Головин(Памятная монета Банка России)

Первым титул графа от русского царя получил Б. П. Шереметев () за подавление Астраханского восстания. Затем Петром I пожалованы Г. И. Головкин (1709), П. М. и Ф. М. Апраксины, Н. М. Зотов и И. А. Мусин-Пушкин (1710), Я. В. Брюс (1721), А. М. Апраксин (1722), П. А. Толстой (1724).

Графские роды подразделялись на российские (125 родов, в том числе графы Царства Польского и Великого княжества Финляндского), графское достоинство которых достигалось либо пожалованием (последним титул получил В. Б. Фредерикс), либо присоединением с разрешения императора титула и фамилии родственного (свойственного) графского рода, не имевшего прямых потомков мужского пола (например, Кушелёвы-Безбородко (1816), Сумароковы-Эльстон (1856), Головкины-Хвощинские (1895)), а также иностранные. Эти в свою очередь делились на российские роды, получившие титул иностранных государств (например, братья Зубовы (1793, Римская империя) и иностранные графские роды, принявшие российское подданство (например, Красинские (1837, Франция), Горны (1860, Швеция), Нессельроде (1705, Римская империя), Ностицы (1849, Силезия), Подгорчиани (1769, Венеция). Графское достоинство являлось наследственным, однако в исключительных случаях могло быть личным (К. М. Пржездзецкий, 1843). В ряде случаев, за особые отличия, награждение титулом могло сопровождаться добавлением (как особого пожалования) к фамилии почётной приставки (Муравьёв-Амурский (1858), Паскевич-Эриванский (1828), Суворов-Рымникский (1789). Графы титуловались «ваше сиятельство»; графские роды вносились в 5-ю часть дворянских родословных книг. К 1894 году было учтено 310 родов (в том числе около 70 пресёкшихся в мужской линии).

Способы представления графа в информатике

Матрица смежности

Основная статья: Матрица смежности

Таблица, где как столбцы, так и строки соответствуют вершинам графа.
В каждой ячейке этой матрицы записывается число, определяющее наличие связи от вершины-строки к вершине-столбцу (либо наоборот).

Это наиболее удобный способ представления плотных графов.

Недостатком являются требования к памяти, прямо пропорциональные квадрату количества вершин.

  • Двумерный массив;
  • Матрица с пропусками;
  • Неявное задание (при помощи функции).

Матрица инцидентности

Основная статья: Матрица инцидентности

Таблица, где строки соответствуют вершинам графа, а столбцы соответствуют связям (рёбрам) графа.
В ячейку матрицы на пересечении строки i{\displaystyle i} со столбцом j{\displaystyle j} записывается:

1
в случае, если связь j{\displaystyle j} «выходит» из вершины i{\displaystyle i},
−1,
если связь «входит» в вершину,
во всех остальных случаях (то есть если связь является петлёй или связь не инцидентна вершине)

Данный способ является довольно ёмким (размер пропорционален |V||E|{\displaystyle |V||E|}) для хранения, поэтому применяется очень редко, в особых случаях (например, для быстрого нахождения циклов в графе).

Список смежности

Основная статья: Список смежности

Список, где каждой вершине графа соответствует строка, в которой хранится список смежных вершин. Такая структура данных не является таблицей в обычном понимании, а представляет собой «список списков».

Размер занимаемой памяти: O(|V|+|E|){\displaystyle O(|V|+|E|)}.

Это наиболее удобный способ для представления разреженных графов, а также при реализации базовых алгоритмов обхода графа в ширину или глубину, где нужно быстро получать «соседей» текущей просматриваемой вершины.

Список рёбер

Список, где каждому ребру графа соответствует строка, в которой хранятся две вершины, инцидентные ребру.

Размер занимаемой памяти: O(|E|){\displaystyle O(|E|)}.

Это наиболее компактный способ представления графов, поэтому часто применяется для внешнего хранения или обмена данными.

Языки описания

Для описания графов, пригодного для машинной обработки и одновременно удобного для человеческого восприятия, используется несколько стандартизированных языков, среди которых:

  • DOT
  • GraphML
  • Trivial Graph Format
  • GML
  • GXL
  • XGMML
  • DGML

Программы для построения

Разработана серия коммерческих программ для построения графов, так, построение графов лежит в основе прикладных программных пакетов фирмы ILOG (с 2009 года принадлежит корпорации IBM), среди других программ — GoView, Lassalle AddFlow, LEDA (есть бесплатная редакция).

Также существует свободная программа для построения графов igraph и свободная библиотека Boost.

Программы для визуализации

Для визуализации графов применяются следующие программные средства:

  • Graphviz (Eclipse Public License)
  • LION Graph Visualizer.
  • Графоанализатор — русскоязычная программа, с простым пользовательским интерфейсом (GNU LGPL; только для Windows).
  • Gephi — графическая оболочка для представления и изучения графов (GNU GPL, CDDL).
  • Библиотека GraphX — свободная библиотека для .NET для расчёта и отрисовки графов, использует WPF 4.0.
  • Библиотека MSAGL — свободная библиотека для .NET.

Н

  • Направленный граф —

    Направленный ациклический граф — ориентированный граф без контуров.

    , в котором две вершины соединяются не более чем одной дугой.

  • Независимое множество вершин (известное также как внутренне устойчивое множество) — множество вершин графа G, в котором любые две вершины несмежны (никакая пара вершин не соединена ребром).

    • Независимое множество называется максимальным, когда нет другого независимого множества, в которое оно бы входило. Дополнение наибольшего независимого множества называется минимальным вершинным покрытием графа.
    • Наибольшим независимым множеством называется независимое множество наибольшего размера.
  • Независимые вершины — попарно несмежные вершины графа.
  • Неразделимый граф — связный, непустой, не имеющий точек сочленения граф..
  • Нормированный граф — без .
  • Нуль-граф (вполне несвязный граф, пустой граф) — степени 0, то есть граф, не содержащий .

Теория графов и важнейшие современные прикладные задачи

На основе теории графов разработаны методы решения прикладных задач, в которых в виде
графов моделируются весьма сложные системы. В этих моделях узлы содержат отдельные
компоненты, а рёбра отображают связи между компонентами. Обычно для моделирования транспортных сетей,
систем массового обслуживания, в сетевом планировании используются взвешенные графы. Мы о них уже говорили, это
графы, в которым дугам присвоены весы.

Графы-деревья применяются, например, для построения деревьев решений
(служат для анализа рисков, анализа возможных приобретений и убытков в условиях неопределённостей).
С применением теории графов разработаны и для решения задач в
конкретных предметных областях.

Графы и задача о потоках

Постановка задачи. Имеется система водопроводных труб, представленная графом на рисунке ниже.

Каждая дуга графа отображает трубу. Числа над дугами (весы) – пропускная способность труб.
Узлы – места соединения труб. Вода течёт по трубам только в одном направлении. Узел S –
источник воды, узел T – сток. Требуется максимизировать объём воды, протекающей от источника к
стоку.

Для решения задачи о потоках можно воспользоваться методом Форда-Фулкерсона. Идея метода:
поиск максимального потока производится по шагам. В начале работы алгоритма поток полагается равным нулю.
На каждом последующем шаге значение потока увеличивается, для чего ищется дополняющий путь, по которому
поступает дополнительный поток. Эти шаги повторяются до тех пор, пока существуют дополнительные пути. Задача
успешно применяется в различных распределённых системах: система электоснабжения, коммуникационная сеть,
система железных дорог и других.

Графы и сетевое планирование

В задачах планирования сложных процессов, состоящих из множества работ, часть из
которых выполняется параллельно, а часть последовательно, широкое применение получили взвешенные графы,
известные под названием сети ПЕРТ (PERT).

PERT – Program (Project) Evaluation and Review Technique – техника оценки и анализа
программ (проектов), которая используется при управлении проектами.

Сеть ПЕРТ – взвешенный ациклический ориентированный граф, в котором каждая дуга
представляет работу (действие, операцию), а вес дуги – время, требуемое для её выполнения.

Если в сети есть дуги и
, то работа, представленная дугой
, должна быть завершена до начала выполнения
работы, представленной дугой . Каждая вершина
представляет момент времени, к
которому должны быть завершены все работы, задаваемые дугами, оканчивающимися в вершине .

В таком графе:

  • одна вершина, не имеющая предшественников, определяет момент времени начала выполнения работ;
  • одна вершина, не имеющая последователей, соответствует моменту времени завершения комплекса работ.

Путь максимальной длины между этими вершинами графа (из начала в конец процесса
выполнения работ), называется критическим путём. Для сокращения времени выполнения всего комплекса
работ необходимо найти работы, лежащие на критическом пути, и уменьшить их продолжительность за счёт,
например, привлечения дополнительных исполнителей, механизмов, новых технологий.

Весь блок “Теория графов”

Изображение графов на плоскости

При изображении графов на рисунках чаще всего используется следующая система обозначений: вершины графа изображаются точками или, при конкретизации смысла вершины, прямоугольниками, овалами и др., где внутри фигуры раскрывается смысл вершины (графы блок-схем алгоритмов). Если между вершинами существует ребро, то соответствующие точки (фигуры) соединяются линией или дугой. В случае ориентированного графа дуги заменяют стрелками, они явно указывают направленность ребра. Иногда рядом с ребром размещают поясняющие надписи, раскрывающие смысл ребра, например, в графах переходов конечных автоматов. Различают планарные и не планарные графы. Планарный граф — это граф, который можно изобразить на рисунке (плоскости) без пересечения рёбер (простейшие — треугольник или пара связанных вершин), иначе граф не планарный. В том случае, если граф не содержит циклов (содержащих, по крайней мере, один путь однократного обхода рёбер и вершин с возвратом в исходную вершину), его принято называть «деревом». Важные виды деревьев в теории графов — бинарные деревья, где каждая вершина имеет одно входящее ребро и ровно два выходящих, или является конечной — не имеющей выходящих рёбер и содержит одну корневую вершину, в которую нет входящего ребра.

Не следует путать изображение графа собственно с графом (абстрактной структурой), поскольку одному графу можно сопоставить не одно графическое представление. Изображение призвано лишь показать, какие пары вершин соединены рёбрами, а какие — нет. Часто на практике бывает трудно ответить на вопрос, являются ли два изображения моделями одного и того же графа или нет (другими словами, изоморфны ли соответствующие изображениям графы). В зависимости от задачи, одни изображения могут давать более наглядную картину, чем другие.

Применение теории графов

  • В химии (для описания структур, путей сложных реакций, правило фаз также может быть интерпретировано как задача теории графов); компьютерная химия — сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов. Теория графов представляет собой математическую основу хемоинформатики. Теория графов позволяет точно определить число теоретически возможных изомеров углеводородов и других органических соединений.
  • В информатике и программировании (граф-схема алгоритма, автоматы)
  • В коммуникационных и транспортных системах. В частности, для маршрутизации данных в Интернете.
  • В экономике
  • В логистике
  • В схемотехнике (топология межсоединений элементов на печатной плате или микросхеме представляет собой граф или гиперграф).

Обобщение понятия графа

Простой граф является одномерным симплициальным комплексом.

Более абстрактно, граф можно задать как тройку (V,E,φ){\displaystyle (V,E,\varphi )},
где V{\displaystyle V} и E{\displaystyle E} — некоторые множества (вершин и рёбер, соотв.),
а φ{\displaystyle \varphi } — функция инцидентности (или инцидентор), сопоставляющая каждому ребру
e∈E{\displaystyle e\in E} (упорядоченную или неупорядоченную) пару вершин u{\displaystyle u} и v{\displaystyle v} из V{\displaystyle V} (его концов). Частными случаями этого понятия являются:

  • ориентированные графы (орграфы) — когда φ(e){\displaystyle \varphi (e)} всегда является упорядоченной парой вершин;
  • неориентированные графы — когда φ(e){\displaystyle \varphi (e)} всегда является неупорядоченной парой вершин;
  • смешанные графы — граф, в котором встречаются как ориентированные, так и неориентированные рёбра и петли;
  • эйлеровы графы — граф, в котором существует циклический эйлеров путь (эйлеров цикл);
  • мультиграфы — графы с кратными рёбрами, имеющими своими концами одну и ту же пару вершин;
  • псевдографы — это мультиграфы, допускающие наличие петель;
  • простые графы — не имеющие петель и кратных рёбер.

Под данное выше определение не подходят некоторые другие обобщения:

  • гиперграф — если ребро может соединять более двух вершин.
  • ультраграф — если между элементами xi{\displaystyle x_{i}} и uj{\displaystyle u_{j}} существуют бинарные отношения инцидентности.
Поделитесь в социальных сетях:vKontakteFacebookTwitter
Напишите комментарий